【数学】二項定理とパスカルの三角形

冒頭の画像はパスカルの三角形に色付けしたもの。

パスカルの三角形とは、二項係数の関係を表した図だ。

n = 16
mod.3
赤、黄、青で塗り分けた

二項定理を学んでいる中で、パスカルの三角形に色をぬるという課題があったため、JAVAでパスカルの三角形を描くプログラムを作ってみた。

mod の値を変えて出力したものが下の絵だ。

20140510-2

色の指定がめんどくさいので青のグラデーションのみで描いてみた。
(左上:mod.2、右上:mod.4、左下:mod.8、右下:mod.16)

さて、本題の二項定理についてだけれども、理解したのかといわれると微妙だ。

おそらく、この定理を使って、別の定理を導いたり、数式を解いたりするんだろうけれど、現時点ではどういう局面で使うことになるのかもまったく知らないまま、とりあえず勘所と思われる式を暗記した状態。

もちろん、その式を導出した過程は理解したつもりだけれども、そんなのはすぐに忘れてしまうだろうしね。

ちなみにテキストは吉田武著の『オイラーの贈物』

根性さえあれば、中学レベルの数学で読み進められるという触れ込みで買った。

当然、おれの数学知識は中学~高校一年くらいのレベルだ。

たしかに、いまのところは、何とか読めている(と思う)

ただし、まだ本書が扱う一番最初の定理だ。

ゴールが果てしなく遠くに見えるよわはは。

二項定理について解説はしない(できない)けれども、俺なりの二項定理の勘所を書きとめておきたい。

【二項定理の勘所】
・二項定理は組み合わせの公式が前提になっている。
組み合わせの公式とは、nCr = n! / r!(n-r)! で、n個の中からr個を取り出した組み合わせの総数を求める公式だ。
なぜこの公式が導かれるのかは、本書では扱っていない。
おれも知らない。知ってるわけがない。
ただ、組み合わせの総数を導き出す計算式はあるだろうと思うし、これがそうだというならそうなんだろう、覚えちまえと。

二項定理を思いついた人の発想は、何処が数学的なのか考えてみた。

・二項定理の閃き-その1
それはこうだ(ばばーん)

「(a-b)^n を二項展開したときの係数がaとbの組み合わせになっていることを発見したところ」

俺も n をひとつずつ増やしながら、二項展開した解を眺めてみたんだけれども、なんとなく法則がありそうだ、くらいまでは思い至るが、それが組み合わせの関係にあるという発想にはいたらなかった。

・二項定理の閃き-その2
さらにここから、二項係数の相互関係に着目して、パスカルの三角形を定式化してみせる、という発想がすごい。
パスカルの三角形をみて、これを数学であらわせるなじゃいかと、そして実際にあらわしてみせるまでの思考回路が、ああ、数学ってこういうことなんだなあと思った。

【日々の復習課題】
明日のためにその1、下記のポイントは毎回復唱することにする。

・二項係数(=組み合わせの総数を求める式)
nCr = n! / r!(n-r)!

・二項定理
(A-B)^n = nC0A^(n-0)B^0 + nC1A^(n-1)B^1 + … + nCrA^(n-r)B^r

・二項係数の相互関係(パスカルの三角形の秘密)
nCk + nC(k+1) = (n+1)C(k+1)

5年前

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。